Andy Uren è nato il 20 febbraio 1996 a Bristol, in Inghilterra. Ed è proprio nella sua città natale dove Uren cresce anche rugbisticamente parlando, vestendo sin dalle giovanili la maglia dei Bears. Con la maglia biancoblu fa il suo debutto nella B&I Cup contro il Gala nel 2013 mentre frequentava il college, diventando uno dei giocatori più giovani a segnare una meta per il Bristol in una gara ufficiale. Durante la stagione 2016/2017 un prestito al club di Richmond, in seconda serie inglese, per poi tornare nel club della sua terra natia. Prestazione dopo prestazione, Uren convince la storica formazione inglese a puntare su di lui e ad affidargli le chiavi della mischia. In questi anni Uren ha scritto bellissime pagine nella storia recente dei Bristol Bears, nell'annata 2018/19 ha perfino segnato cinque mete nella partita contro il club russo dell'Enisei-STM all'Ashton Gate Stadium. Andy ha fatto la sua 100esima presenza con il club nella vittoria in Premiership contro il Gloucester nel 2020 ed è stato poi votato dai propri tifosi come migliore trequarti di Bristol nella stagione 2020/2021. Uren ha collezionato 152 presenze e 19 mete con i Bears tra Premiership, Challenge Cup e Champions Cup. In più ha vinto nel 2020 la Challenge Cup, primo trofeo continentale conquistato dai Bears nella sua storia.
